A VARIATIONAL FORMULATION TO IMAGE INCLUSIONS IN 2D TRAVEL TIME CROSS HOLE TOMOGRAPHY

Abstract

It was developed a simple and high speed method with the purpose to model inclusions of irregular forms (simply connected and convex domain) in the context of cross hole travel time 2D tomography. The extension to 3D can be easily implemented and is not covered in this paper. The following assumptions were made: a) Homogeneus host medium (therefore straight ray propagation assumed) b) Homogeneus inclusion. c) Not very high velocity contrast between host medium (V₁) and the inclusion (V₂). The algorithm calculate the host velocity V₁considering the (straight) ray between source 1 and receiver 1, and considering that this ray not intersect the anomaly. Then the velocity V₂of the inclusion is estimated upon determining the differencedt among measured times source_i- receiver_jand corresponding calculated times. If the global difference is negative signifies that V₂will be greater than V₁and viceversa. The small values ofdt are treated as outliers and therefore eliminated. The last initial parameters needed by the algorithm are the coordinates of the center of the inclusion, which are estimated by a graphical procedure. Afterwards the program approximates the contour of the inclusion using the Nelder-Mead 'simplex' algorithm. At last the perfomance of the algorithm was applied with real data.

Keywords :Tomography; Cross Hole; Simplex Downhill; Variational; Nelder Mead.

RESUMEN

Se desarrolló un método simple y veloz para modelar inclusiones de formas irregulares (dominio convexo, simple conexo) en el contexto del método de tomografía sísmica en cross hole 2D. La implementación a 3D es fácil de llevar a cabo y no es tratada en este trabajo. Las siguientes premisas se tuvieron en cuenta: a) Homogeneidad del sustrato (por consiguiente se consideró la teoría de propagación de rayo recto). b) Inclusión homogénea. c) Un bajo contraste de velocidades entre el sustrato (V₁) y la inclusión (V₂). El algoritmo calcula la velocidad del sustrato V₁considerando el rayo (recto) entre la fuente '1' y el receptor '1' (superiores) y considerando que este rayo en particular no intersecta la anomalía. Luego la velocidad V₂de la inclusión se calcula a partir de la diferencia ddt entre los tiempos medidos fuente 'i' receptor 'j' y los correspondientes tiempos calculados con las premisas citadas. Si la diferencia global es negativa significa que V₂es mayor que V₁y viceversa. Los valores muy pequeños de ddt son tratados como puntos fronterizos y no tenidos en cuenta. Los últimos parámetros iniciales necesarios por el algoritmo son las coordenadas del centro de la inclusión, las cuales se estiman a partir de un procedimiento gráfico. Posteriormente el programa aproxima el contorno de la inclusión mediante el empleo del algoritmo 'simplex' de Nelder Mead. Por último el funcionamiento del programa se puso a prueba con datos reales.

Keywords :Tomografía; Cross Hole; Simplex Downhill; Variacional; Nelder Mead.