ANÁLISE DOS MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS E EXPANSÃO RÃPIDA NA MIGRAÇÃO REVERSA NO TEMPO

Abstract

Neste trabalho mostramos através da solução analítica da equação da onda no tempo e do método de expansão rápida (REM) que é possível obter a solução da equação da onda que utiliza esquemas de diferenças-finitas de qualquer ordem no tempo. Além disso, demonstramos que a grande vantagem do REM é que o método permite usar qualquer intervalo de amostragem temporal para realizar a extrapolação do campo de ondas, enquanto que o método de diferenças finitas impõe limites ao intervalo usado, devido à condição de estabilidade e à dispersão numérica. Fizemos também uma análise das aproximações em séries de Taylor e em polinômios de Chebyshev para a função cosseno que aparece na solução analítica da equação da onda no tempo. E finalizamos este trabalho mostrando o desempenho dos métodos numéricos na migração reversa no tempo pós e pré-empilhamento e demonstramos que o REM, combinado com o método espectral para calcular as derivadas espaciais, pode ser usado para obter resultados numericamente estáveis e com menor custo computacional do que um método de extrapolação do campo de ondas no tempo com um esquema de diferenças-finitas, dentro do mesmo nível de precisão.

Keywords :migração reversa no tempo; diferenças finitas; método de expansão rápida.

ABSTRACT

In this work, we show that the wave equation solution using a conventional finite-difference scheme, derived commonly by the Taylor series approach, can be derived directly from the rapid expansion method (REM). Then, we show that if we use more terms from the REM one obtain a more accurate time integration of the wave field. Consequently, we have demonstrated that the REM is more accurate than the usual finite-difference schemes and it provides a wave equation solution which allows us to march in large time steps without numerical dispersion and is numerically stable. We also analyze the behavior of the Chebyshev and Taylor series coefficients to approximate the cosine function which appears in the analytical solution of the wave equation in time. The method is illustrated with pos and pre-stack migration results and it is shown that the REM for the time stepping combined with pseudo spectral operators for the spatial derivatives can be used to obtain numerically stable results with less computational effort than a conventional finite difference time stepping approach for the same level of accuracy.

Keywords :reverse time migration; finite difference; rapid expansion method.