COMPARISON OF L2- AND L1-NORM TO PERFORM THE INVERSION OF TRAVEL-TIME CURVES USING NONHYPERBOLIC MULTIPARAMETRIC APPROXIMATIONS WITH UNIMODAL AND MULTIMODAL BEHAVIOR

Abstract

ABSTRACT. Many nonhyperbolic multiparametric travel-time approximations were developed in the last decades. As the seismic inversion became more popular, there were studies concerning the objective function of this kind of equations. Many of these approximations have a unimodal behavior where there is only the global minimum region while others have a multimodal statistical distribution with the global minimum region and one or more local minimum regions. However, two approximations showed both unimodal and multimodal behaviors to vary depending on the model. As the variation of the model generates only subtle distortions concerning the topology of the objective function, a method which can make this topology more abrupt is a solution to perform a more effective inversion. This kind of information can be reached using the L1-norm rather than the L2-norm, and with the comparison of the two norms for both reflection events (PP and PS) of the model and both approximations, it is possible to understand which kind of improvement it brings concerning the complexity and accuracy analysis.

Keywords: objective function, nonhyperbolicity, probability distribution.

RESUMO. Várias aproximações não-hiperbólicas multiparamétricas de tempos de trânsito foram desenvolvidas nas últimas décadas. Com a inversão sísmica se tornando cada vez mais popular, houve estudos relacionados à função objetivo desse tipo de equação. Muitas dessas aproximações apresentam um comportamento unimodal, onde há apenas uma região de mínimo global, enquanto outras apresentam uma distribuição estatística multimodal, com a região de mínimo global e uma ou mais regiões de mínimos locais. Entretanto, duas aproximações mostraram ambos os comportamentos, unimodal e multimodal, variando a depender do modelo. Como a variação do modelo gera apenas distorções sutis com relação à topologia da função objetivo, um método no qual é capaz de tornar a topologia mais abrupta é uma forma de realizar a inversão de maneira mais efetiva. Este tipo de informação pode ser obtido usando a norma L1 ao invés da norma L2, e com a comparação das duas normas para ambos os eventos de reflexão (PP e PS) do modelo e para ambas as aproximações, é possível entender qual tipo de melhoria é alcançada com relação à análise de complexidade e de precisão.

Palavras-chave: função objetivo, não-hiperbolicidade, distribuição probabilística.