ONE-STEP EXTRAPOLATION METHOD USING CHEBYSHEV RECURRENCE RELATION APPLIED TO SEISMIC MODELING

Abstract

ABSTRACT

In this work we show that the solution of the first-order differential wave equation for an analytical wavefield, using a finite-difference scheme in time, follows exactly the same recursion of modified Chebyshev polynomials. Based on this, we proposed a numerical algorithm for seismic modeling using the Chebyshev polynomial recursion applied on a pseudo-differential operator which can take care of any velocity variation. Exploiting the connection between the finite-difference scheme in time and the Chebyshev polynomial recursion, and considering the Fourier method to compute the spatial derivatives, we get the stability condition for this method taking into consideration only the range of validity of the Chebyshev polynomials. Thus, the proposed method can be used to march seismic wavefields in time generating a stable propagation of seismic waves free of numerical dispersion. To validate the obtained results with the one-step extrapolation method using Chebyshev polynomials, we compared the seismic responses of a two-layer model and a salt velocity model with the results of the rapid expansion method (REM) and also with the conventional finite-difference method. The results show that the quality of the seismic sections obtained using the proposedmethod is comparable to the results obtained with the aforementioned methods. Comparison of computational times shows that the one-step extrapolation method using Chebyshev polynomials takes a propagation time comparable with the recursive REM and finite-difference methods. The method proposed here was applied only for 2D seismic modeling but it can easily extend to 3D seismic modeling problems too.

Keywords: seismic modeling, acoustic wave equation, analytical wavefield, Chebyshev polynomials.

RESUMO

Neste trabalho, mostra-se que a solução da equação de onda de primeira ordem com um campo de onda analítico, usando um esquema de diferençasfinitas no tempo, segue exatamente a relação de recorrência dos polinômios modificados de Chebyshev. O algoritmo numérico proposto, ao ser aplicadoà modelagem sísmica, utilizando a relação de recorrência dos polinômios de Chebyshev aplicada sobre um operador pseudodiferencial pode lidar comqualquer variação de velocidade. Explorando a conexão entre o esquema de diferenças-finitas no tempo, com a relação de recorrência dos polinômios de Chebyshev e ométodo de Fourier, para calcular as derivadas espaciais, foi possível encontrar a condição de estabilidade deste novométodo levando em consideração apenas o intervalo de validade dos polinômios de Chebyshev. O algoritmo proposto pode ser utilizado para o avanço do campo de onda no tempo gerando uma propagação de ondas sísmicas estável e livre de dispersão numérica. Para validar os resultados obtidos com o método de extrapolação "One-step", usando a relação de recorrência dos polinômios de Chebyshev, comparamos as respostas sísmicas de um modelo de duas camadas e um modelo de velocidades que apresenta um corpo de sal com os resultados obtidos mediante o método de expansão rápida (REM) e o método das diferenças-finitas convencional. Os resultados mostram que a qualidade das seções sísmicas obtidas usando o método proposto é comparável com os resultados obtidos com os métodos de diferenças-finitas e o REM. A comparação dos tempos computacionais mostra que o método de extrapolação "One-step", com a relação de recorrência dos polinômios de Chebyshev, leva um tempo de propagação comparável com o tempo gasto pelo REMrecursivo e o método de diferenças-finitas. Vale ainda ressaltar que o método proposto foi aplicado apenas para modelos sísmicos 2D, mas ele pode ser naturalmente estendido para a modelagem de dados sísmicos 3D.

Palavras-chave: modelagem sísmica, equação da onda acústica, campo analítico, polinômios de Chebyshev.