CRITIQUE OF SOLUTIONS IN LINEARIZED INVERSE PROBLEMS: NUMERICAL EXPERIMENTS IN TRAVELTIME TOMOGRAPHY

Abstract

ABSTRACT. In this work, we evaluated the quality of the solution of numerical experiments in traveltime tomography, in linear and linearized cases, using singular value decomposition. The simulations were performed using a synthetic model, which has been discretized into uniform 2-D blocks, where the slowness in each block was considered to be constant. These simulations were performed with different numbers of singular values, and different levels of Gaussian noise were added to the traveltimes. Additionally, regularization by derivative matrices was used, known in literature as Tikhonov regularization. To evaluate the quality of the inversion, the behavior of the main diagonal of the data resolution matrix and the model resolution matrix was analyzed for different amounts of singular values, providing a clear indicator of the inversion success, either in the whole estimated model or in its parts. A second criterion used the concept of complementary solutions and the generation of a pseudo-constant solution, allowing the analysis of regions where the inversion was not successful.

Keywords: inverse problems, traveltime tomography, resolution matrices, Barbieri method, regularization.

RESUMO. Neste trabalho avaliamos a qualidade da solução em experimentos numéricos em tomografia de tempo de trânsito, nos casos linear e linearizado, utilizando o método de decomposição por valores singulares. As simulações foram feitas utilizando um modelo sintético, o qual foi discretizado em blocos 2-D, uniformes, considerando constantes as vagarosidades em cada bloco. Essas inversões foram efetuadas com diferentes números de valores singulares, assim como foi incorporado diferentes níveis de ruído gaussiano aos tempos de trânsito. Também foi utilizada a regularização por matrizes de derivada, conhecida na literatura como regularização de Tikhonov. Para avaliar a qualidade da inversão foi analisado o comportamento da diagonal principal da matriz de resolução de dado e da matriz de resolução de modelo, para diferentes quantidades de valores singulares, fornecendo um claro indicador do sucesso da inversão, seja no modelo estimado como um todo ou em partes. Um segundo critério utilizou o conceito da solução complementar e da geração da solução pseudo-constante, permitindo analisar em quais regiões do modelo a inversão não foi bem-sucedida.

Palavras-chave: problemas inversos, tomografia de tempos de trânsito, matrizes de resolução, método de Barbieri, regularização.